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部分可观测时空混沌系统的无模型预测
Box dimension of the graphs of the generalized Weierstrass-type functions
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论文摘要
储层计算是预测湍流的有力工具，其简单的架构具有处理大型系统的计算效率。然而，其实现通常需要完整的状态向量测量和系统非线性知识。我们使用非线性投影函数将系统测量扩展到高维空间，然后将其输入到储层中以获得预测。我们展示了这种储层计算网络在时空混沌系统上的应用，该系统模拟了湍流的若干特征。我们表明，使用径向基函数作为非线性投影器，即使只有部分观测并且不知道控制方程，也能稳健地捕捉复杂的系统非线性。最后，我们表明，当测量稀疏、不完整且带有噪声，甚至控制方程变得不准确时，我们的网络仍然可以产生相当准确的预测，从而为实际湍流系统的无模型预测铺平了道路。
For a Lipschitz $\mathbb{Z}-$periodic function $ϕ:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ satisfied that $\mathbb{R}^2\setminus\{ϕ(x):x\in\mathbb{R}\}$ is not connected, an integer $b\ge 2$ and $λ\in (c/{b^{\frac12}},1)$, we prove the following for the generalized Weierstrass-type function $W(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{λ^nϕ(b^nx)}$: the box dimension of its graph is equal to $3+2\log_bλ$, where $c$ is a constant depending on $ϕ$.
