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$ n^{1，p} $ sobolev空间的反思性和可分离性的简单证明
A simple proof of reflexivity and separability of $N^{1,p}$ Sobolev spaces
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论文摘要
我们提供了一个众所周知的Cheeger定理的基本证明，该证据指出，如果度量量$ x $支持$ p $-poincaré不平等，那么$ n^{1，p}（x）$ sobolev space是反射性的，并且在$ p \ in（1，\ infty）$时是反射性的。当$ p = 1 $时，我们还证明了空间的可分离性。我们的证明是基于在$ n^{1，p}（x）$，$ p \ in [1，\ infty）$上直接构造等效规范的，当$ p \ in（1，\ infty）$时，它是均匀凸出的。最后，我们明确构建了一个功能，当$ p \ in（1，\ infty）$时，与最小$ p $ - 效率上的梯度相当。
We present an elementary proof of a well-known theorem of Cheeger which states that if a metric-measure space $X$ supports a $p$-Poincaré inequality, then the $N^{1,p}(X)$ Sobolev space is reflexive and separable whenever $p\in (1,\infty)$. We also prove separability of the space when $p=1$. Our proof is based on a straightforward construction of an equivalent norm on $N^{1,p}(X)$, $p\in [1,\infty)$, that is uniformly convex when $p\in (1,\infty)$. Finally, we explicitly construct a functional that is pointwise comparable to the minimal $p$-weak upper gradient, when $p\in (1,\infty)$.
